17  Verteilungsfunktionen

In R sind zahlreiche Verteilungsfunktionen implementiert. Wir beschränken uns in diesem Buch auf die für uns wichtigen Wahrscheinlichkeisverteilungen.

Eine vollständige Liste aller implementierten Verteilungen findet sich unter https://stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/library/stats/html/Distributions.html

Der Funktionsumfang folgt dabei einer gewissen Logik, für jede Verteilung existiert je eine d, p, q und r-Funktion. Für die Normalverteilung (siehe Näheres in Abschnitt 17.1) sind das dnorm(), pnorm(), qnorm() und rnorm(). Für die t-Verteilung (siehe Abschnitt 17.2) heißen die Equivalente dt(), pt(), qt() und rt(), für \(\chi^2\) entsprechend dchisq(), pchisq(), qchisq() und rchisq().

Dies möchten wir am Beispiel der Normalverteilung verdeutlichen.

17.1 Normalverteilung

Die Normalverteilung ist mit den oben beschriebenen Funktionen in R implementiert.

Mit der Funktion dnorm() berechnet man die Werte der Wahrscheinlichkeitsdichte. Möchte man beispielsweise die Wahrscheinlichkeitsdichte für \(x=2\) aus der Standardnormalverteilung berechnen lautet der Befehl:

# Wahrscheinlichkeitsdichte für x=2 
# in der Standardnormalverteilung 
dnorm(2)
## [1] 0.05399097

Standardmäßig stammen diese Werte aus der Standardnormalverteilung, sie streuen also mit einer Standardabweichung von \(s=1\) um den Mittelwert \(\bar{x}=0\).

Möchte man dies ändern, können der Funktion entsprechende Werte für Mittelwert und Standardabweichung übergeben werden:

# Wahrscheinlichkeitsdichte für x=4 
# aus einer Verteilung mit Mittelwert 8 und Standardabweichung 2 
dnorm(4, mean=8, sd=2)
## [1] 0.02699548

Die Werte der Verteilungsfunktion lassen sich mit pnorm() berechnen. Die Funktion gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass ein Zufallsvariable einen Wert von \(\le x\) (= “höchstens\(x\)) annimmt.

# Wahrscheinlichkeit dass Wert kleiner-gleich 2 
# in Standardnormalverteilung 
pnorm(2)
## [1] 0.9772499

Für andere Normalverteilungen ändert sich der Befehl entsprechend:

# Wahrscheinlichkeit dass Wert kleiner-gleich 8 
# in Normalverteilung mit xquer=12 und s=3 
pnorm(8, mean=12, s=3)
## [1] 0.09121122

Quantile lassen sich mit der Funktion qnorm() berechnen. Quantile stellen Grenzen dar, die ein zufälliger Wert mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit nicht überschreiten wird. Wenn das 95%-Quantil beispielsweise den Wert \(5\) hat, wird eine zufällig gezogene Zahl mit 95% Sicherheit kleiner als \(5\) sein.

# Grenze des 95% Quantils 
# in Standardnormalverteilung 
qnorm(p=0.95)
## [1] 1.644854

Auch qnorm() können Werte für andere Normalverteilungen übergeben werden.

# Grenze des 95% Quantils
# in Normalverteilung mit xquer=9 und sd=5
qnorm(p=0.95, mean=9, sd=5)
## [1] 17.22427

Mit rnorm() lassen sich normalverteilte Zufallswerte erzeugen:

# erzeuge "zufällig" 10 Werte # aus der Standardnormalverteilung
rnorm(10)
##  [1] -1.400043517  0.255317055 -2.437263611 -0.005571287  0.621552721
##  [6]  1.148411606 -1.821817661 -0.247325302 -0.244199607 -0.282705449

Auch mit rnorm() können wir andere Normalverteilungen für unsere Zufallszahlen angeben:

# erzeuge "zufällig" 10 normalverteilte Werte 
# mit Mittelwert 8 und Standardabweichung 2 
rnorm(10, mean=8, sd=2)
##  [1]  6.892601  9.257964 12.130050  4.738021  9.024854  4.273977  6.955975
##  [8]  7.894796  9.085993  6.171850


Plot-Beispiele

# erzeuge Werte von -3 bis 6 
x <- seq(-3,6, by=0.005) 
# übergebe in ein data.frame 
df <- data.frame(x) 

# ggplot erstellen 
library(ggplot2)
p <- ggplot(data=df, aes(x)) + xlim(-3,6) + ylim(0, 0.8) + xlab("x") +
      ylab("Dichtefunktion") + ggtitle("Normalverteilungen") 
p +
      stat_function(fun=dnorm, args=(c(mean=0,sd=1)), colour="black")+
      annotate(geom="text", x=0, y=0.42, label="N(0;1)", color="black")+
      stat_function(fun=dnorm, args=(c(mean=2,sd=0.5)), colour="blue") +
      annotate(geom="text", x=3, y=0.6, label="N(2;0.5)", color="blue")+
      stat_function(fun=dnorm, args=(c(mean=2,sd=2)), colour="darkorchid") +
      annotate(geom="text", x=5, y=0.1, label="N(2;2)",
      color="darkorchid")

Für weitere Plot-Beispiele zur Normalverteilung siehe Abschnitt 32.1.

17.2 t-Verteilung

Die “kleine Schwester” der Standardnormalverteilung ist die Student-t-Verteilung (oder einfach kurz t-Verteilung). Für sie stehen die selben Funktionstypen zur Verfügung wie für die Normalverteilung (siehe Abschnitt 17.1). Diese heissen entsprechend dt(), pt(), qt() und rt() und funktionieren genau wie ihre Pendants der Standardnormalverteilung. Jedoch muss ihnen noch die Anzahl der Freiheitsgrade (\(df\)) übergeben werden:

# Wahrscheinlichkeitsdichte für x=2 
# in der t-Verteilung mit 4 Freiheitsgraden 
dt(2, df=4)
## [1] 0.06629126
# Wahrscheinlichkeit dass Wert kleiner-gleich 2 
# in der t-Verteilung mit 3 Freiheitsgraden 
pt(2, df=3)
## [1] 0.930337
# Grenze des 95% Quantils # in der t-Verteilung mit 3 Freiheitsgraden
qt(p=0.95, df=3)
## [1] 2.353363
# erzeuge "zufällig" 10 Werte 
# aus der t-Verteilung mit 13 Freiheitsgraden 
rt(10, df=13)
##  [1]  0.45366019 -1.18009245  2.00550964  0.07126229  0.63480028  0.17499076
##  [7]  1.65206115 -0.22859755 -2.07243796 -0.28974980

Möchte man die t-Verteilung plotten, kann das mit ggplot (siehe Kapitel 30) so erfolgen.

# Erzeuge x-werte 
df <- data.frame(x=seq(-3,3, by=0.005))

# Grundlegene Plotangaben 
p <- ggplot(data=df, aes(x)) + 
  # begrenze die Achsen 
  xlim(-3,3) + ylim(0, 0.4) + 
  # Achsen-Titel 
  xlab("x") +   ylab("Dichtefunktion") + 
  # Plot-Titel 
  ggtitle("t-Verteilungen", subtitle = "nach Freiheitsgraden")

# t-Verteilung plotten 
p + stat_function(fun=dt, args=list(df=1), col="black") + 
  # Textfeld hinzufügen 
  annotate(geom="text", x=0, y=0.25, label="df=1", color="black")

Für weitere Plot-Beispiele zur Normalverteilung siehe Abschnitt 32.2.

17.3 \(\chi^2\)-Verteilung

Die \(\chi^2\)-Verteilung ist mit den oben beschriebenen Funktionen in R implementiert. Diese heissen entsprechend dchisq(), pchisq(), qchisq() und rchisq() und funktionieren genau wie ihre Pendants der Standardnormalverteilung. Jedoch muss ihnen (wie bei der t-Verteilung) noch die Anzahl der Freiheitsgrade (\(df\)) übergeben werden:

# Wahrscheinlichkeitsdichte für x=2
# in der Chi^2-Verteilung mit 4 Freiheitsgraden
dchisq(2, df=4)
## [1] 0.1839397

Möchte man die \(\chi^2\)-Verteilung plotten, kann das mit ggplot (siehe Kapitel 30) so erfolgen.

# Erzeuge x-werte
x=seq(0,25, by=0.005)
df <- data.frame(  x,
  df01 = dchisq(x, df=1), 
  df05 = dchisq(x, df=5),
  df10 = dchisq(x, df=10),
  df15 = dchisq(x, df=15)
)

# erzeuge long-table
df <- pivot_longer(df, cols=c(df01, df05, df10, df15))

p <- ggplot(data=df, aes(x, value, fill=name)) +
  xlim(0,25) + ylim(0, 0.2) +
  xlab("x") + ylab("Dichtefunktion") +
  ggtitle("Chi^2-Verteilungen", subtitle = "nach Freiheitsgraden")
p + geom_line(aes(col=name,linetype=name))+
labs(col="Freiheitsgrade",linetype="")

Für weitere Plot-Beispiele zur \(\chi^2\)-Verteilung siehe Abschnitt 32.3.

17.4 Poisson-Verteilung

Die Poisson-Verteilung ist mit den oben beschriebenen Funktionen in R implementiert. Diese heissen entsprechend dpois(), ppois(), qpois() und rpois() und funktionieren genau wie ihre Pendants der Standardnormalverteilung. Jedoch muss ihnen der Wert für \(\lambda\) übergeben werden.

# Wahrscheinlichkeitsdichte für x=2
# in der Poisson-Verteilung mit Lambda=4 
dpois(2, lambda=4)
## [1] 0.1465251

Möchte man die Poisson-Verteilung plotten, kann das mit ggplot (siehe Kapitel 30) so erfolgen.

# Erzeuge x-Werte
x=seq(0,25)
df <- data.frame(  x,
                   l1 = dpois(x, 1), 
                   l2 = dpois(x, 2),
                   l4 = dpois(x, 4),
                   l9 = dpois(x, 9)
)

# erzeuge eine long-table
df <- pivot_longer(df, cols=c(l1, l2, l4, l9))

# plot vorbereiten
p <- ggplot(data=df, aes(x, value, fill=name)) +
  xlim(0,17) + ylim(0, 0.4) +
  xlab("x") + ylab("Dichtefunktion") +
  ggtitle("Poisson-Verteilungen", subtitle = "nach Lambda")
p + geom_line(aes(col=name,linetype=name))+
  labs(col="Lambda",linetype="")
## Warning: Removed 32 row(s) containing missing values (geom_path).

Für weitere Plot-Beispiele zur Poisson-Verteilung siehe Abschnitt 32.4).

17.5 Binomial-Verteilung

Die Binomial-Verteilung ist mit den oben beschriebenen Funktionen in R implementiert. Diese heissen entsprechend dbinom(), pbinom(), qbinom() und rbinom() und funktionieren genau wie ihre Pendants der Standardnormalverteilung.

Als Parameter werden übergeben:

  • x = günstige Werte
  • n = Anzahl der Beobachtungen
  • prob = Wahrscheinleichkeit des Ereignisses

Die Wahrscheinlichkeit, dass ich in einem 4-tägigen Seminar mit insgesamt 10 Teilnehmern 2mal das Tagesprotokoll schreiben muss1 errechnet sich wie folgt:

# Wahrscheinlichkeit, insgesamt 2mal das Tagesprotokoll 
# schreiben zu müssen,  
# bei 10 Teilnehmern und 4 Seminartagen
dbinom(x=2, size=4, prob=0.1)
## [1] 0.0486

Die Wahrscheinlichkeitswerte können für jedes Ereignis “Protokoll schreiben” errechnet und geplottet werden:

# Erzeuge Ereignisraum
protokoll <- c(0:4)

# überführe in Datenframe und berechne alle
# Wahrscheinlichkeiten, das Tagesprotokoll schreiben zu müssen,
# bei 10 Teilnehmern an 4 Seminartagen 
df <- data.frame(protokoll, y=dbinom(x=protokoll, size=4, prob=0.1)*100)

# plotten
ggplot(df, aes(x=protokoll, y=y)) + geom_bar(stat="identity", col="black",fill="skyblue3")+
  geom_text(aes(label = y),size = 5,vjust = -0.5)+
  xlab("Anzahl Protokolle")+
  ylab("Wahrscheinlichkeit")+ ylim(0,100)

Die Wahrscheinlichkeit, bei 10 Münzwürfen k-mal Kopf zu werfen, errechnet sich wie folgt:

# Ereignisraum erzeugen
münze <- c(1:10)

# überführe in Datenframe und berechne
# alle Wahrscheinlichkeiten, k-mal "Kopf" zu werfen
df <- data.frame(münze, y=round(dbinom(x=münze, size=10, prob=0.5)*100,1))

# plotten
ggplot(df, aes(x=münze, y=y)) + 
  geom_bar(stat="identity", col="black",fill="skyblue3")+
  geom_text(aes(label = y),size = 5,vjust = -0.5)+
  xlab("Anzahl 'Kopf'")+
  ylab("Wahrscheinlichkeit")+ ylim(0,33) +
  scale_x_continuous(breaks = 0:10) 


  1. Kuckartz, U; Rädiker, S; Ebert, T. Schehl, J (2013): Statistik - Eine verständliche Einführung, Springer, ISBN 978-3-531-19889-7, S.125↩︎