13 Lösungen
13.1 z-Transformation 1
13.1.0.1 Teil 1
Mittels Gleichung 14.12 berechnen wir den z-Wert für den Messwert \(85\):
\[ \begin{aligned} z_{i} &=& \frac{x_{i} - \mu}{\sigma} z_{i} &=& \frac{85 - 60}{20} = 1,25 \end{aligned} \] Da wir Anteile errechnen sollen, die mindestens ein Testergebnis von 85 aufweisen, muss in Referenztabelle [tab:zp] der Wert für \(z = 1,25\) abgelesen werden; in diesem Fall liest man den Wert \(0,1056\) ab. Das bedeutet, dass ein Anteil von 10,56% ein Testergebnis von mindestens \(85\) erzielt.
13.1.0.2 Teil 2
Mittels Gleichung 14.12 berechnen wir den z-Wert für den Messwert \(50\):
\[ \begin{aligned} z_{i} &=& \frac{x_{i} - \mu}{\sigma}\\[1cm] z_{i} &=& \frac{50 - 60}{20} = -0,5 \end{aligned} \]
In diesem Beispiel erhalten wir einen negativen z-Wert. Das Problem besteht darin, dass Tabellen (wie z.B. Tabelle 15.2 nur positive z-Werte auflisten. Hier macht man sich die Symmetrie der Normalverteilung zu eigen. Durch die Parabelform ergibt sich der Zusammenhang:
\[ \begin{aligned} P(Z < -0,5) = P(Z > +0,5) \end{aligned} \] Man sucht also “einfach” die Wahrscheinlichkeit für den z-Wert \(+0,5\), und zieht diesen Wert von \(1\) ab.
Da wir Anteile errechnen sollen, die höchstens ein Ergebnis von 50 erzielen, muss in Tabelle 15.1 der Wert für \(z=0,5\) abgelesen werden; in diesem Falle liest man dort \(0.6915\) ab. Dieser Wert wird nun von \(1\) abgezogen:
\[ \begin{aligned} 1 - 0,6915 = 0,3085 \end{aligned} \]
Somit liegt der Anteil, der maximal ein Testergebnis von 50 erreicht, bei \(30.85\%\).
13.2 z-Transformation 2
13.2.0.1 Teil 1
Mittels Gleichung 14.12 berechnen wir den z-Wert für den Messwert \(10\) Punkte:
\[ \begin{aligned} z_{i} &=& \frac{x_{i} - \mu}{\sigma} z_{i} &=& \frac{10 - 7,2}{3,5} = 0,8 \end{aligned} \]
Da wir Anteile errechnen sollen, die mindestens ein Testergebnis von 10 Punkten aufweisen, muss in Referenztabelle [tab:zp] der Wert für \(z = 0,8\) abgelesen werden; in diesem Fall liest man den Wert \(0,2119\) ab. Das bedeutet, dass ein Anteil von 21,19% ein Testergebnis von mindestens \(10\) Punkten erzielt.
13.2.0.2 Teil 2
Zunächst berechnet man die \(z\)-Werte für die Punktzahlen \(5\) und \(8\):
\[ \begin{aligned} z_{i} &=& \frac{5 - 7,2}{3,5} = -0,63\\[1cm] z_{i} &=& \frac{8 - 7,2}{3,5} = 0,23 \end{aligned} \]
Für den \(z\)-Wert von \(5\) Punkten (= \(-0,63\)) muss der entsprechenden Wert aus Tabelle [tab:zp] abgelesen werden, da wir die Anteile jener Schüler benötigen, die mindestens \(5\) Punkte erhalten. Da es sich um einen negativen \(z\)-Wert handelt, lesen wir den Wert bei \(+0,63\) ab, und subtrahieren ihn von \(1\):
\[ \begin{aligned} 1 - 0,2643 = 0,7357 \end{aligned} \]
Für den \(z\)-Wert von \(8\) Punkten (= \(0,23\)) muss der entsprechenden Wert aus Tabelle 15.1 abgelesen werden, da wir die Anteile jener Schüler benötigen, die maximal \(8\) Punkte erhalten. So erhalten wir den Wert \(0,5910\).
Zu guter letzt wird von den Werten der Obergrenze (8 Punkte) die Werte der Untergrenze (5 Punkte) abgezogen:
\[ \begin{aligned} p &=& P(z < 0,23) - P(z < -0,63)\\[1cm] p &=& 0,5910 - 0,7357 = -0,1447 \end{aligned} \]
Der Prozentanteil liegt somit bei 14,47%.
13.2.0.3 Teil 3
Mittels Gleichung 14.12 berechnen wir den z-Wert für den Messwert \(4\) Punkte:
\[ \begin{aligned} z_{i} &=& \frac{x_{i} - \mu}{\sigma}\\[1cm] z_{i} &=& \frac{4 - 7,2}{3,5} = -0,91 \end{aligned} \]
Da wir Anteile errechnen sollen, die höchstens ein Testergebnis von 4 Punkten aufweisen, muss in Referenz- Tabelle 15.1 der Wert für \(z = -0,91\) abgelesen werden. Da Tabelle 15.1 keine negativen z-Werte auflistet, muss Tabelle 15.2 verwendet werden.
Oder aber, man macht sich die Symmetrie der Parabelform zu nutze:
\[ \begin{aligned} P(Z < -0,5) = P(Z > +0,5) \end{aligned} \]
Man sucht also “einfach” die Wahrscheinlichkeit für den z-Wert \(+0,91\) (in diesem Falle \(0,8186\)), und zieht diesen Wert von \(1\) ab.
\[ \begin{aligned} 1 - 0,8186 = 0,1814 \end{aligned} \]
Das bedeutet, dass ein Anteil von 18,14% ein Testergebnis von höchstens \(4\) Punkten erzielt.
13.3 Konfidenzintervalle
13.3.1 Lösung Dekubitusprävalenz
Zunächst muss der Wert \(k\) für 35% von 150 ermittelt werden. Dies geht am einfachsten, indem man \(150 \cdot 0,35\) rechnet. So erhalten wir \(k = 52,5\)
Jetzt werden die Werte entsprechend in die Formel eingesetzt:
\[ \begin{aligned} p_{o} &=& \frac{52,5}{150} + \frac{1,96}{150} \cdot \sqrt{\frac{52,5 \cdot (150 - 52,5)}{150}}\\[3mm] &=& 0,35 + 0,0131 \cdot \sqrt{\frac{52,5 \cdot 97,5}{150}}\\[3mm] &=& 0,35 + 0,0131 \cdot \sqrt{34,125}\\[3mm] &=& 0,35 + 0,0131\cdot5,8417 = 0,35 + 0,0765\\[3mm] &=& 0,4265 = \mathbf{42,65\%}\\[3mm] p_{u} &=& 0,35 - 0,0765\\[3mm] &=& 0,2735 = \mathbf{27,35\%} \end{aligned} \] Das Konfidenzintervall erstreckt sich demnach von 27,35% bis 42,65%.