14 Formeln
Mittelwert
\[ \bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} \tag{14.1}\]
Varianz
\[ s^2 = \frac{\sum{ (x_{i} - \bar{x})^2}}{n-1} \tag{14.2}\]
Standardabweichung
\[ s = \sqrt{Varianz} = \sqrt{ \frac{\sum{ (x_{i} - \bar{x})^2}}{n-1} } \tag{14.3}\]
Variationskoeffizient
\[ vk = \frac{s}{\bar{x}} \cdot 100 \tag{14.4}\]
Perzentilposition zur Bestimmung von z.B. Median und Quartile
\[ \begin{aligned} \text{Position} & = Perzentil\cdot(n+1)\\ \text{Position}_{Median} & = 0,5\cdot(n+1)\\ \text{Position}_{1.Quartil} & = 0,25\cdot(n+1)\\ \text{Position}_{3.Quartil} & = 0,75\cdot(n+1)\\ \text{\scriptsize Berechnung der exakten Werte:\normalsize}\\ q & =x_{P_{u}} + P_{Rest}\cdot(x_{P_{o}}-x_{P_{u}}) \end{aligned} \tag{14.5}\]
Maßkorrelationskoeffizient nach Pearson
\[ r = \frac{1}{n-1}\cdot\sum(\frac{x_i - \bar{x}}{s_x})\cdot(\frac{y_i - \bar{y}}{s_y}) \tag{14.6}\]
Rangkorrelationskoeffizent nach Spearman
\[ r = 1 - \frac{6\cdot \sum (\text{Rang}_{x_i} -\text{Rang}_{y_i})^2}{(n-1)\cdot n\cdot (n+1)} \tag{14.7}\]
Konfidenzgrenzen bei Binomialverteilungen
\[ \begin{array}{l l} p_{o}\\p_{u}\\ \end{array} \Big\}= k \pm c \cdot \sqrt{\frac{k \cdot (1-k)}{n}} \tag{14.8}\]
| Variable | Bedeutung |
|---|---|
| \(n\) | = Umfang der Stichprobe |
| \(k\) | = geschätzter Anteil |
| \(c\) | = Konstante für Irrtumswahrscheinlichkeit \(\alpha\), siehe nachfolgende Tabelle |
| \(\alpha\) | 0,01 | 0,05 | 0,10 | 0,20 |
|---|---|---|---|---|
| \(c\) | 2,58 | 1,96 | 1,64 | 1,28 |
| \(c^2\) | 6,66 | 3,84 | 2,69 | 1,64 |
Konfidenzgrenzen für den Unterschied von Anteilen bei Binomialverteilungen
\[ \begin{array}{l l} d_{o}\\d_{u}\\ \end{array} \Big\}= \hat{d} \pm c \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}_{1} \cdot (1 - \hat{p}_{1})}{n_{1}} + \frac{\hat{p}_{2} \cdot (1 - \hat{p}_{2})}{n_{2}}} \tag{14.9}\]
| Variable | Bedeutung |
|---|---|
| \(\hat{d}\) | die Differenz der Anteile |
| \(n_{1}, n_{2}\) | die Umfänge der beiden Stichproben |
| \(\hat{p}_{1}\), \(\hat{p}_{2}\) | die geschätzten Anteile in beiden Stichproben |
| \(c\) | Konstante für Irrtumswahrscheinlichkeit \(\alpha\), siehe nachfolgende Tabelle |
Konfidenzgrenzen bei Normalverteilungen
\[ \begin{array}{l l} \mu_{u}\\\mu_{o}\\ \end{array} \Big\}= \bar{x} \pm t \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \tag{14.10}\]
| Variable | Bedeutung |
|---|---|
| \(\bar{x}\) | = arithmetisches Mittel |
| \(n\) | Stichprobenumfang |
| \(s\) | Standardabweichung |
| \(t\) | Wert der \(t\)-Verteilung, (mit Freiheitsgraden \(df = n-1\)) |
Konfidenzgrenzen für einen Unterschied in den Mitteln bei Normalverteilungen
\[ \begin{array}{l l} \mu_{u}\\\mu_{o}\\ \end{array} \Big\}= \hat{d} \pm t \cdot \sqrt{\frac{s_{pool}^2}{n_x}+\frac{s_{pool}^2}{n_y}} \tag{14.11}\]
| Variable | Bedeutung |
|---|---|
| \(\hat{d}\) | Differenz der Mittelwerte \(\bar{x}\),\(\bar{y}\) |
| \(n_{x}, n_{y}\) | die Umfänge der beiden Stichproben |
| \(s_{pool}\) | gepoolte Standardabweichungen = \(\frac{(n_x-1)\cdot s_x^2\ +\ (n_y-1)\cdot s_y^2}{n_x + n_y -2}\) |
| \(t\) | Wert der \(t\)-Verteilung, (mit Freiheitsgraden \(df = n_x+n_y -1\)) |
z-Transformation
\[ z_i = \frac{x_i-\bar{x}}{s}\quad bzw.\quad z_i = \frac{x_i-\mu}{\sigma}\\[4mm]\normalsize \tag{14.12}\]
Effektsärke (Cohen’s \(d\))
\[ d = \frac{\bar{x}-\bar{y}}{\sqrt{\frac{s_x^2 + s_y^2}{2}}} \tag{14.13}\]
Sensitivität
\[ \text{Sensitivität} = \frac{\text{Anzahl richtig positiver}}{\text{Anzahl richtig positiver + Anzahl falsch negativer}}\cdot 100 \tag{14.14}\]
Spezifität
\[ \text{Spezifität} = \frac{\text{Anzahl richtig negativer}}{\text{Anzahl richtig negativer + Anzahl falsch positiver}}\cdot 100 \tag{14.15}\]
Positiv-prädiktive Wert
\[ \text{PPW} = \frac{\text{Anzahl richtig positiver}}{\text{Anzahl richtig positiver + Anzahl falsch positiver}}\cdot 100 \tag{14.16}\]
Negativ-prädiktive Wert
\[ \text{NPW} = \frac{\text{Anzahl richtig negativer}}{\text{Anzahl richtig negativer + Anzahl falsch negativer}}\cdot 100 \tag{14.17}\]
Odds Ratio und Relatives Risiko
| Ereignis | kein Ereignis | Total | |
|---|---|---|---|
| Gruppe A | a | b | a+b |
| Gruppe B | c | d | c+d |
Odds Ratio
\[ OR =\frac{a\cdot d}{b\cdot c} \tag{14.18}\]
Relatives Risiko
\[ RR =\frac{a\cdot (c + d)}{c\cdot (a + b)} \tag{14.19}\]