Opa JuppDrei Pumpen
Die gesuchte Zeit, innerhalb derer die drei Einzelpumpen den Speicher in Zusammenarbeit 1-mal füllen sei $t_{ABC}$. Gleich 2-mal könnte derselbe Behälter in dieser Zeit gefüllt werden, wenn das Pumpentrio gemeinsam im Doppelpack zum Einsatz käme. Von den in diesem Fall gleichzeitig aktiven Pumpenpaaren $AB$, $AC$ und $BC$ würde das Paar $AB$ zur Zweifachfüllung des Speichers den relativen Anteil $\frac{t_{ABC}}{t_{AB}}$, das Paar $AC$ den relativen Anteil $\frac{t_{ABC}}{t_{AC}}$ und das Paar $BC$ den relativen Anteil $\frac{t_{ABC}}{t_{BC}}$ beitragen.
In Gleichungsform lässt sich dieser Zusammenhang wie folgt ausdrücken
\begin{align} (A+B) + (A+C) + (B+C) &= 2\cdot (A+B+C) \end{align} und so die Zeit $t_{ABC}$ berechnen: \begin{align} \frac{t_{ABC}}{t_{AB}} + \frac{t_{ABC}}{t_{AC}} + \frac{t_{ABC}}{t_{BC}} &= 2\cdot 1 \newline \left( \frac{1}{t_{AB}}+ \frac{1}{t_{AC}}+ \frac{1}{t_{BC}} \right)\cdot t_{ABC} &=2\newline t_{ABC} = \frac{2}{\frac{1}{t_{AB}}+\frac{1}{t_{AC}}+\frac{1}{t_{BC}}} &= \frac{2}{\frac{1}{2h}+\frac{1}{3h}+\frac{1}{4h}}\newline = \frac{24}{13}h &= \mathbf{1,846153h} \end{align}
Die Zeitspanne $t_{C}$, in der die Pumpe $C$ den Speicher allein füllt, ergibt sich aus dem Ansatz \begin{align} C=(A+B+C)-(A+B) \end{align}
\begin{align} \frac{t_{ABC}}{t_{C}} = 1 - \frac{t_{ABC}}{t_{AB}} \end{align} zu \begin{align} t_{C} &= \frac{t_{AB}\cdot t_{ABC}}{t_{AB}-t_{ABC}} &= \frac{2\cdot \frac{24}{13} }{2-\frac{24}{13}}h = \mathbf{24h} \end{align}
