Die Seuche im Kloster

Der Lösung des Rätsels können wir uns durch einfache Überlegungen nähern.

• Gehen wir im ersten Beispiel davon aus, dass nur 1 Mönch infiziert ist. Dieser Mönch würde am ersten Tag aufwachen, sich umsehen und bemerken, dass niemand einen roten Punkt auf der Stirn trägt. Der Mönch würde schlussfolgern, dass er selbst einen Punkt tragen muss - denn die Seuche ist ja da - und sich in der Nacht auf seiner Zelle umbringen. Am zweiten Tag ($d=2$) wären alle infizierten Mönche ($n_{M}=1$) tot.
• Gehen wir im zweiten Beispiel davon aus, dass 2 Mönche ($M_{1}$ und $M_{2}$) infiziert sind. Der Mönch $M_{1}$ würde morgens aufwachen, sich umsehen und bemerken, dass Mönch $M_{2}$ einen roten Punkt auf der Stirn trägt. $M_{1}$ wird nun davon ausgehen, dass $M_{2}$ die Überlegungen aus Beispiel 1 durchführen und sich in der Nacht umbringen wird. Die selben Beobachtungen, Überlegungen und Schlussfolgerungen trifft aber auch $M_{2}$ über $M_{1}$. Beide Mönche warten also ab. Am nächsten Morgen bemerkt $M_{1}$, dass $M_{2}$ sich wider Erwartens nicht umgebracht hat. Daraus zieht $M_{1}$ den Schluss, dass $M_{2}$ bei jemand anderem einen Punkt gesehen haben muss, und nun seinerseits darauf gewartet hat, dass dieser Mönch sich in der Nacht umbringen würde. Da $M_{1}$ keine weiteren Punkte bei seinen Mitbrüderen sehen kann, muss er schlussfolgern, dass \textit{er selbst} diesen Punkt trägt. Die selben Beobachtungen, Überlegungen und Schlussfolgerungen trifft aber auch $M_{2}$ über $M_{1}$ und sich selbst. Das bedeutet, dass $M_{1}$ und $M_{2}$ sich in der zweiten Nacht “gemeinsam” umbringen werden. Am dritten Tag ($d=3$) wären alle infizierten Mönche ($n_{M}=2$) tot.
• Gehen wir im dritten Beispiel davon aus, dass 3 Mönche ($M_{1}$, $M_{2}$ und $M_{3}$) infiziert sind. Der Mönch $M_{1}$ würde morgens aufwachen, sich umsehen und bemerken, dass die Mönche $M_{2}$ und $M_{3}$ einen roten Punkt auf der Stirn tragen. $M_{1}$ wird nun davon ausgehen, dass $M_{2}$ und $M_{3}$ die Überlegungen aus Beispiel 2 durchführen und sich in der zweiten Nacht umbringen werde. Die selben Beobachtungen, Überlegungen und Schlussfolgerungen treffen aber auch $M_{2}$ über $M_{1}$ und $M_{3}$ sowie $M_{3}$ über $M_{1}$ und $M_{2}$. Alle 3 Mönche warten also bis zum dritten Tag ($d=3$) ab. Hier bemerken sie, dass ihre Mitbrüder noch leben, und sie müssen - analog zu Beispiel 2 - schließen, dass noch ein Mönch einen roten Punkt tragen muss. Da die Mönche diesen Punkt nicht entdecken können, müssen sie schlussfolgern, dass \textit{sie selbst} diesen Punkt tragen. Das bedeutet, dass $M_{1}$, $M_{2}$ und $M_{3}$ sich in der dritten Nacht “gemeinsam” umbringen werden. Am vierten Tag ($d=4$) wären alle infizierten Mönche ($n_{M}=3$) tot.

Aus diesen Überlegungen können wir ableiten:

1. Woran erkennt ein Mönch, dass er infiziert ist ?
   Er zählt die Anzahl der infizierten Mönche $n_{M}$, die er sehen kann. Kann er keine Punkte sehen, ist er selbst infiziert. Sieht er jedoch rote Punkte, dann weiss er, dass diese Mönche sich in der $n_{M}$ten Nacht alle zusammen umbringen werden. Sind am $d=n_{M}+1$ten Morgen alle gesehen Mönche tot, so ist er selbst \textit{nicht} infiziert. Leben aber die Mönche am $d=n_{M}+1$ten Morgen noch, so kann er folgern, dass die Mönche bei ihm selber den Punkt gesehen haben, und somit auf seinen Selbstmord gewartet haben. In der darauffolgenden Nacht werden sich alle infizierten Mönche gemeinsam umbringen.
2. Da in der Aufgabe am $5$ten Morgen alle infizierten Mönche tot sind, betrug die Anzahl der infizierten Mönche $n_{M}=d-1 = 5-1 = \mathbf{4}$.

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