Opa JuppDie Schafherde und der Schäferhund
Skizze 1
Die Skizze 1 zeigt die Schafherde in drei verschiedenen Situationen:
- zur Startzeit, mit dem Herdenende in $E_{1}$ und der Herdenspitze in $S_{1}$
- zum Zeitpunkt der Ankunft des Hundes an der Herdenspitze in $S_{2}$
- zum Zeitpunkt der Wiederankunft des Hundes am Herdenende in $E_{3}$
Bezeichnet man den Laufweg der Herde in der Übergangsphase von Situation 1 nach Situation 2, d.h. die Strecke zwischen $S_{1}$ und $S_{2}$ bzw. $E_{1}$ und $E_{2}$ mit $x$, dann ergibt sich der zugehörige Laufweg des Hundes zu
\begin{align} 100m + x \end{align}
In $S_{2}$ angekommen kehrt der Hund seine Laufrichtung um und legt in der Phase des Übergangs von Situation 2 nach Situation 3, auf dem Weg zum Herdenende $E_{3}$, nochmal die Strecke $x$ zurück.
Die Herde bewegt sich in der gleichen Zeit um den Streckenabschnitt $100m-x$ weiter nach vorn.
Als Gesamtlaufweg erhält man folglich für den Hund: \begin{align} s_{Hu}=100m +2\cdot x \end{align}
und für die Herde:
\begin{align} s_{He}=100m \end{align}
Da das Verhältnis der Laufgeschwindigkeit des Hundes zur Laufgeschwindigkeit der Herde konstant ist, gilt letzteres auch für das Verhältnis der Wege, die die beiden “Akteure” in den zuvor betrachteten Phasen vom Übergang der ersten zur zweiten Situation und der zweiten zur dritten Situation zurückgelegt haben. Aus der entsprechend formulierten Gleichung:
\begin{align} \frac{100m +x}{x} = \frac{x}{100m-x} \end{align}
ergibt sich
\begin{align} x=\frac{100m}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\cdot 50m = 70,71m \end{align}
und damit der gesamte Laufweg des Hundes zu
\begin{align} s_{Hu} &= 100m + 2\cdot x\newline &= 100m + 2\cdot 70,71m\newline &= \mathbf{241,42m} \end{align}
