Opa JuppDas Autorennen auf Brummerland
Für eine allgemeine Lösung werden folgende Formelzeichen verwendet: $v_{m1}$ und $t_{1}$ für die mittlere Geschwindigkeit und Fahrzeit in Runde 1, $v_{m2}$ und $t_{2}$ für die mittlere Geschwindigkeit und Fahrzeit in Runde 2, $v_{mg}$ und $t_{g}=t_{1}+t_{2}$ für die mittlere Geschwindigkeit und Fahrzeit über das Gesamtrennen und $s$ für die Streckenlänge einer Runde. Vorgegeben sind $v_{m1}=30\frac{km}{h}$ und $v_{mg}=60\frac{km}{h}$ bzw. alternativ: $v_{mg}=50\frac{km}{h}$.
Mit diesen Bezeichnungen lässt sich zunächst die mittlere Fahrgeschwindigkeit $v_{mg}$ über das Gesamtrennen ausdrücken durch die Gleichung: \begin{align} v_{mg} &= \frac{2\cdot s}{t_{g}} = \frac{2\cdot s}{t_{1}+t_{2}} \newline &= \frac{2\cdot s}{\frac{s}{v_{m1}} + \frac{s}{v_{m2}}}\newline &= \frac{2\cdot v_{m1}\cdot v_{m2}}{v_{m1}+v_{m2}} \end{align}
Die gesuchte durchschnittliche Fahrgeschwindigkeit $v_{m2}$ für die zweite Runde der Rennstrecke ergibt sich daraus zu
\begin{align} v_{m2} = \frac{v_{mg}}{2-\frac{v_{mg}}{v_{m1}}} \end{align}
zu Frage 1:
Für den relevanten Fall mit $v_{m1}=30\frac{km}{h}$ und $v_{mg}=60\frac{km}{h}$ erhält man nach Formel (4) \begin{align} v_{m2} = \frac{60}{2-\frac{60}{30}} = \infty \end{align}
Dieses Ergebnis besagt, dass der Weltmeister in Runde 2 unendlich schnell fahren müsste, um das Gesamtrennen mit einem Geschwindigkeitsmittelwert von $60\frac{km}{h}$ zu beenden.
zu Frage 2:
Mit den Vorgaben: $v_{m1}=30\frac{km}{h}$ und $v_{mg}=50\frac{km}{h}$ berechnet man für $v_{mg}$
\begin{align} v_{m2} = \frac{50}{2-\frac{50}{30}} = 150 \end{align}
und erhät so eine Geschwindigkeit von $\mathbf{150k\frac{km}{h}}$, die auch in Diagramm 1 ablesbar ist.
Diagramm 1
