Wieviele Schafe sind in der Herde?

Wenn $h(n)$ die Herdenstärke bezeichnet, die nach $n$-maliger Reduzierung in der beschriebenen Weise zur Herdenreststärke $h(0)=r=2$ führt, dann gilt die Rekursionsformel: $$ \begin{align} h(n-1)= \frac{h(n)}{2}-\frac{1}{2} = \frac{1}{2}\cdot(h(n)-1) \end{align} $$

und folglich auch $$ \begin{align} h(n)=2\cdot h(n-1)+1 \end{align} $$

Nach der letzten Gleichung erhält man

$$ \begin{align} h(1) &= 2\cdot h(0)+1 = 2\cdot 2 +1 =& 5\newline h(2) &= 2\cdot h(1)+1 = 2\cdot 5 +1 =& 11\newline h(3) &= 2\cdot h(2)+1 = 2\cdot 11 +1 =& 23\newline h(4) &= 2\cdot h(3)+1 = 2\cdot 23 +1 =& 47\newline h(5) &= 2\cdot h(4)+1 = 2\cdot 47 +1 =& 95\newline h(6) &= 2\cdot h(5)+1 = 2\cdot 95 +1 =& 191 \end{align} $$

Die Herde umfasst demnach 191 Tiere.

Dieses Ergebnis liefert mit $n=6$ und $r=2$ auch die explizite Formel:

$$ \begin{align} h(n) = 2^n \cdot(r+1)-1 \end{align} $$

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