Wie lautet die Zahlenfolge?

Mit den Bezeichnungen: $Z(n)$ für die $n$-te und $Z(n+1)$ für die $(n+1)$-te Zahl der Folge erhält man in direkter Umsetzung des Textes im Sachverhalt die Rekursionsformel: \begin{equation} Z(n) = \frac{1}{2}\cdot Z(n+1)+1 \end{equation}

Diese wird für die Berechnung der einzelnen Folgenglieder mit aufsteigenden Werten von $n$ umgeformt in \begin{equation} Z(n+1) = 2\cdot(Z(n)-1) \end{equation}

Ausgehend von $Z(1)=3$ erhält man danach: \begin{align} Z(2)& =2\cdot(Z(1)-1) =2\cdot (3-1)=4\newline Z(3)& =2\cdot(Z(2)-1) =2\cdot (4-1)=6\newline Z(4)& =2\cdot(Z(3)-1) =2\cdot (6-1)=10\newline Z(5)& =2\cdot(Z(4)-1) =2\cdot (10-1)=18\newline Z(6)& =2\cdot(Z(5)-1) =2\cdot (18-1)=34 \end{align}

Für die Berechnung von Einzelgliedern dieser und ähnlicher Zahlenfolgen, ist die Anwendung eines diskreten Bildungsgesetzes oft nicht nur einfacher sondern auch eleganter als die rekursive Methode. Im vorliegenden Fall bietet es sich für die Entwicklung einer diskreten Formel an, aus den Differenzen von je zwei Nachbargliedern der schon bekannten sechs Folgenglieder eine Differenzenfolge zu bilden.

Wie die untenstehende Zahlenmatrix zeigt, handelt es sich dabei um eine sog. geometrische Folge, in der jedes Zahlenglied doppelt so groß ist wie das vorhergehende. Mit den Gliedern dieser Differenzenfolge lassen sich jene ihrer Stammfolge auch wie folgt definieren: \begin{align} Z(2)& = 3 + 2^0= 4\newline Z(3)& = 3 + 2^0 +2^1 = 6\newline Z(4)& = 3 + 2^0 +2^1 +2^2= 10\newline Z(5)& = 3 + 2^0 +2^1 +2^2 +2^3= 18\newline Z(6)& = 3 + 2^0 +2^1 +2^2 +2^3+2^4= 34 \end{align}

Für das $n$-te Folgenglied gilt vorläufig die Gleichung: \begin{equation} Z(n)= 3 + 2^0 +2^1 +2^2 +2^3+2^4 + \dots + 2^{n-2} \end{equation}

Diese lässt sich nach Multiplikation beider Seiten mit 2 darstellen in der Form: \begin{equation} 2\cdot Z(n)= 6+2^1 +2^2 +2^3+2^4 + \dots + 2^{n-2}+ 2^{n-1} \end{equation}

Wird nun Gleichung (13) von Gleichung (14) subtrahiert, verbleibt als Ergebnis das gesuchte diskrete Bildungsgesetz der Zahlenfolge: \begin{equation} Z(n)= 3-2^0 +2^{n-1} = 2+2^{n-1} \end{equation}

Das zu berechnende 34. Zahlenglied lautet danach: \begin{equation} Z(34)= 2+2^{34-1} = \mathbf{8589934594} \end{equation}

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Wie lautet die Zahlenfolge?