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Steinwürfe vom Turm


Verwendete Formelzeichen und deren Bedeutung

  • $h_{0}=$ Höhenunterschied zwischen dem Abwurfpunkt der Steine und dem Boden,
  • $v=$ Betrag der Fluggeschwindigkeit der Steine allgemein,
  • $v_{0}=$ Betrag der Anfangs- bzw. Abwurfgeschwindigkeit,
  • $v_{A}=$ Betrag der Aufschlaggeschwindigkeit,
  • $v_{x}=$ Horizontalkomponente der Geschwindigkeit,
  • $v_{y}=$ Vertikalkomponente der Geschwindigkeit,
  • $x=$ Horizontalkomponente der Flugstrecke,
  • $y=$ Vertikalkomponente der Flugstrecke,
  • $y_{Max}=$ Maximum der Steighöhe des Steins beim Wurf nach oben,
  • $s=$ Betrag der Flugstrecke bzw. Flugbahnlänge der Steine allgemein,
  • $s_{O}$, $s_{U}$ und $s_{H}=$ Gesamtbeträge der Flugstrecken bei den Würfen nach oben, unten und zur Seite bis zum Aufschlag,
  • $t=$ Flugzeit allgemein,
  • $t_{O}$, $t_{U}$ und $t_{H}=$ Gesamtflugzeiten bei den Würfen nach oben, unten und zur Seite bis zum Aufschlag,
  • $t_{Max}=$ Flugzeit des Steins beim Wurf nach oben, bis zum Erreichen des Maximums der Steighöhe,
  • $m=$ Masse eines Steins,
  • $g=9,81\frac{m}{s^2}=$ Erd- bzw.Fallbeschleunigung,
  • $G= m\cdot g=$ Gewicht bzw. Gewichtskraft eines Steins,
  • $E_{k0}=$ kinetische Energie eines Steins unmittelbar nach dem Abwurf vom Turm,
  • $E_{p0}=$ potentielle Energie eines Steins im Moment des Abwurfs vom Turm in Bezug auf den Erdboden,
  • $E_{kA}=$ kinetische Energie eines Steins beim Aufschlag.

Lösung zu a)

Unabhängig von der Richtung, in die die Steine geworfen werden und den Bahnen, auf denen sie sich bewegen, besitzen sie beim Aufschlag auf dem Boden alle die gleiche kinetische Energie,

\begin{align} E_{kA} = E_{k0} + E_{p0} \end{align}

bzw.

\begin{align} \frac{1}{2}\cdot m\cdot v_{A}^2 = \frac{1}{2}\cdot m\cdot v_{0}^2 + m\cdot g\cdot h_{0} \end{align}

und folglich mit

\begin{align} v_{A} &= \sqrt{v_{0}^2 + 2\cdot g\cdot h_{0} }\newline &= \sqrt{16^2 + 2\cdot 9,81\cdot 25}\newline &= \mathbf{27,32\frac{m}{s}} \end{align}

auch die gleiche effektive Geschwindigkeit.


Lösung zu b)

Für die Berechnung der Flugzeiten der Steine bis zum Aufschlag auf dem Boden, sind von den Geschwindigkeiten, die sie auf ihren Bahnen erreichen und den Wegen, die sie dort zurücklegen, nur die Komponenten in Vertikalrichtung zu berücksichtigen; siehe dazu Abb. 2.

Für den Wurf nach oben gilt

\begin{align} v_{y}(t) &=v_{0} - g\cdot \int dt = v_{0} - g\cdot t\newline y(t) &= \int_{0}^t v_{y}(t) \cdot dt = v_{0}\cdot t - \frac{g}{2}\cdot t^2\newline t(y) &= \frac{v_{0}}{g} - \sqrt{\left(\frac{v_{0}}{g}\right)^2 - \frac{2\cdot y}{g}} \quad\quad \text{für}\ \ 0 \leq y \leq \frac{v_{0}^2}{2\cdot g}\newline t(y) &= \frac{v_{0}}{g} + \sqrt{\left(\frac{v_{0}}{g}\right)^2 - \frac{2\cdot y}{g}} \quad\quad \text{für}\ \ y \leq \frac{v_{0}^2}{2\cdot g}\newline \end{align}

Für $y= -h_{0}$ ergibt sich aus Gleichung (9) die Flugzeit bis zu Aufschlag zu

\begin{align} t_{O} = t(-h_{0}) &= \frac{v_{0}}{g} + \sqrt{\left( \frac{v_{0}}{g} \right)^2 - \frac{2\cdot (-h_{0})}{g}}\newline &= \frac{16}{9,81} + \sqrt{ \left( \frac{16}{9,81} \right)^2 - \frac{2\cdot (-25)}{9,81} }\newline &= \mathbf{4,4161s} \end{align}


Für den Wurf nach unten gilt

\begin{align} v_{y}(t) &= -v_{0} - g\cdot t \newline y(t) &= -v_{0} \cdot t - \frac{g}{2}\cdot t^2\newline t(y) &= - \frac{v_{0}}{g} + \sqrt{ \left( \frac{v_{0}}{g} \right)^2 - \frac{2\cdot y}{g} } \quad\quad \text{für}\ \ y \leq 0 \end{align}

Als Flugzeit bis zum Aufschlag erhält man in diesem Fall nach Gleichung (15):

\begin{align} t_{U} = t(-h_{0}) &= -\frac{v_{0}}{g} + \sqrt{\left( \frac{v_{0}}{g} \right)^2 - \frac{2\cdot (-h_{0})}{g}}\newline &= -\frac{16}{9,81} + \sqrt{ \left( \frac{16}{9,81} \right)^2 - \frac{2\cdot (-25)}{9,81} }\newline &= \mathbf{1,1541s} \end{align}


Für den Wurf zur Seite gilt

\begin{align} v_{y}(t) &= -g\cdot t \newline y(t) &= -\frac{g\cdot t^2}{2}\newline t(y) &= \sqrt{ - \frac{2\cdot y}{g} } \quad\quad \text{für}\ \ y \leq 0 \end{align}

Gleichung (21) liefert die hier gesuchte Flugzeit bis zum Aufschlag zu

\begin{align} t_{H} = t(-h_{0}) &= \sqrt{ - \frac{2\cdot (-h_{0})}{g} } \newline &= \sqrt{ \frac{2\cdot h_{0}}{g} } \newline &= \sqrt{ \frac{2\cdot 25}{9,81} } \newline &= \mathbf{2,2576s} \end{align}

Anmerkung: Von den Funktionsgleichungen (7), (14), und (20), sind in Abb. 2 die zugehörigen Graphen dargestellt.


Schau dir den R-Code für dieses Diagramm an.

Abbildung 2


Lösung zu c)

Die Berechnung der von den Steinen bis zum Aufprall auf dem Boden effektiv zurückgelegten Wegstrecken, die logischerweise den Längen der Flugbahnen entsprechen, ist für die Würfe senkrecht nach oben und senkrecht nach unten besonders einfach, weil hier keine horizontalen Wegkomponenten auftreten. Gänzlich ohne Rechenaufwand lässt sich die Bahnlänge $s_{U}$ des Steines angeben, der nach unten geworfen wird.

Hier gilt:

\begin{align} s_{U} = h_{0} = 25m \end{align}

Im Fall des Wurfs nach oben ist die Flugbahn des Steins länger, und zwar um das doppelte des Höhenbetrages, um den sie nach dem Abwurf relativ zu Abwurfebene zunächst ansteigt.

Der höchste Punkt der Flugbahn ist erreicht, wenn die Vertikalkomponente der Steingeschwindigkeit gleich Null ist. Nach Gleichung (1) ist bis dahin die Flugzeit

\begin{align} t= t_{Max} = \frac{v_{0}}{g} \end{align}

vergangen, mit der sich nach Gleichung (2) die Steighöhe berechnen lässt. Man erhält diese zu

\begin{align} y_{Max} &= y(t_{Max}) = v_{0}\cdot t_{Max} - \frac{g}{2}\cdot t^2_{Max}\newline &= v_{0}\cdot \frac{v_{0}}{g} - \frac{g}{2}\cdot \left(\frac{v_{0}}{g} \right)^2 = \frac{v^2_{0}}{2\cdot g} \newline &= \frac{16^2}{2\cdot 9,81}m = \mathbf{13,0479m} \end{align}

und damit die Gesamtlänge der Flugbahn:

\begin{align} s_{O} &= 2\cdot y_{Max} + h_{0} = \frac{v^2_{0}}{g} + h_{0}\newline &= \frac{16^2}{9,81}m + 25m = \mathbf{51,0958m} \end{align}

Für den Wurf zur Seite gestaltet sich die Berechnung des Betrags der Strecke, die der Stein auf seiner Flugbahn zurücklegt, wesentlich aufwändiger als in den beiden zuvor betrachteten Fällen.

Zielführend ist hier z. B. folgende Überlegung:

Wenn der Stein in einer sehr kleinen Zeitspanne der Dauer $dt$ in $x$- und $y$- Richtung die ebenfalls sehr kleinen Wege $dx=v_{0}\cdot dt$ und $dy=v_{y}(t)\cdot dt = - g\cdot t\cdot dt$ zurücklegt, dann kommt er auf der Flugbahn um das elementare Wegstück

\begin{align} ds &= \sqrt{dx^2 + dy^2} = \sqrt{v^2_{0} + (-g\cdot t)^2}\cdot dt\newline &= g\cdot \sqrt{\frac{v_{0}}{g}^2 + t^2}\cdot dt \end{align}

voran, und den Streckenbetrag $s$, um den er sich in der (variablen) Zeitspanne von $t=0$ bis $t=1$ fortbewegt, beschreibt dann die Gleichung

\begin{align} s &= s(t) = g\cdot \int^t_{0}\sqrt{\frac{v_{0}}{g}^2 + t^2 }\newline &= \frac{v^2_{0}}{2\cdot g} \cdot \left( \frac{g}{v_{0}}\cdot t \cdot \sqrt{1+\left(\frac{g}{v_{0}}\cdot t \right)^2 } + ln \left(\frac{g}{v_{0}}\cdot t + \sqrt{ 1+ \left(\frac{g}{v_{0}}\cdot t \right)^2 } \right) \right) \end{align}

Gemäß letzterer ergibt sich der gesuchte Weg, den der Stein nach einer Flugzeit von $t=t_{H} = 2,2576$ Sekunden bis zum Aufschlag auf dem Boden auf seiner Bahn insgesamt zurücklegt, zu

\begin{align} s_{H} &= s(t_{H}) = \frac{16^2}{2\cdot 9,81} \cdot \newline & \left( \frac{9,81}{16}\cdot 2,2576\cdot \sqrt{1+ \left(\frac{9,81}{16}\cdot 2,2576 \right)^2 } + ln \left( \frac{9,81}{16}\cdot 2,2576\cdot \sqrt{1+ \left(\frac{9,81}{16}\cdot 2,2576 \right)^2 } \right) \right) \newline &= \mathbf{45,569m} \end{align}




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