Opa JuppHalbierung eines dreieckigen Gartens
Lösung zu a)
Besonders einfach und gleichermaßen anschaulich führt hier folgende vorwiegend zeichnerische Methode zum Ziel:
Auf der Seite $\bar{AB}$ des gegebenen Dreiecks wird zunächst der Mittelpunkt $M$ markiert. Danach verbindet man den Eckpunkt $C$ der Figur mit dem “Brunnenpunkt“ $P$ auf $\bar{AB}$ und zeichnet zu der so entstehenden Geraden $\bar{CP}$ eine Parallele durch $M$. Der Schnittpunkt dieser Parallelen mit der Dreieckseite $\bar{BC}$ ist dann der Endpunkt $Q$ der gesuchten Grenzlinie, die in der Abbildung rot dargestellt ist.
Lösung zu b)
Die funktionale Abhängigkeit der Variablen $y$ von der Variablen $x$ ergibt sich nach dem sogenannten Strahlensatz aus der Proportion bzw. Verhältnisgleichung
\begin{align} \frac{y}{a} &= \frac{ \frac{c}{2} -x }{c-x} \end{align}
zu
\begin{align} y(x) &= \frac{a}{2} \cdot \left( 1-\frac{x}{c-x} \right) \end{align}
Für $x=20m$ erhält man
\begin{align} y(20m) &= \frac{120}{2} \cdot \frac{130- 2\cdot 20}{130-20}m = 49,\bar{09}m \end{align}
Beweis für die Richtigkeit der Lösung
Aus der Abbildung geht hervor, dass der halbe Flächeninhalt des Gartengrundstücks bereits durch das Dreieck $AMC$ mit der Grundlinie $\frac{c}{2}$ und der Höhe $h_{c}$ repräsentiert wird. Zusammen mit dem Dreieck $MQC$ bildet dieses das Viereck $AMQC$, das sich auch aus dem Viereck $APQC$ und dem Dreieck $PMQ$ zusammensetzt. Für die Flächeninhalte dieser Figuren gilt demnach:
\begin{align} F_{APQC} + F_{PMQ} = F_{AMC} + F_{MQC} \end{align}
Da die Dreiecke $PMQ$ und $MQC$ gleich groß sind - sie besitzen beide die Grundlinie $e=\bar{MQ}$ und Höhe $h_{e}$ - gilt folglich auch
\begin{align} F_{APQC} = F_{AMC} = \frac{1}{2}\cdot c\cdot h_{c} \end{align}
Anmerkung
Die gesuchte Grenzlinie ist im Fall $x=0$ mit der Seitenhalbierenden von $\bar{BC}$ und im Fall $x=\frac{c}{2}$ mit der Seitenhalbierenden von $\bar{AB}$ identisch.
