# Kugeln im Kelch
Der Durchmesser jeder betrachteten Kugel im Kelch ergibt sich durch Multiplikation
des Durchmessers der jeweils direkt über ihr liegenden größeren Kugel mit einem konstanten
Faktor $q$. Mit dieser Eigenschaft lässt sich die Abfolge der Kugeldurchmesser als unendliche
geometrische Reihe beschreiben. Für eine bestimmte Anzahl $n$ der obersten Kugeln im Kelch
erhält man danach die Durchmessersumme
\begin{align}
S_{d,n} = d_{1}\cdot(1+q^1+q^2+\cdots +q^{n-1}) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} d_{1}\cdot q^k = d_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q}
\end{align}
und für die gegebene, unendlich große Kugelanzahl die Durchmessersumme
\begin{align}
S_{d} = \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(d_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q} \right) =\frac{d_{1}}{1-q}
\end{align}
Die zuletzt genannte entspricht logischerweise der lichten Höhe $h$ des kegelförmigen
Innenraums des Kelchs, so dass aus Gleichung 2 folgt:
\begin{align}
q = 1- \frac{d_{1}}{h}
\end{align}
{{< figure src="KugelnKelch.png" caption="Abb.1">}}
Den Durchmesser der im Kelch zuoberst liegenden größten Kugel erhält man unter Beachtung
von Abbildung 1 aus dem Ansatz:
\begin{align}
tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{D}{2\cdot h}= \frac{\frac{d_{1}}{2}}{\sqrt{(h-\frac{d_{1}}{2})^-(\frac{d_{1}}{2})^2}}
= \frac{d}{2\cdot\sqrt{h\cdot(h-d_{1})}}
\end{align}
zu
\begin{align}
d_{1} = \frac{2\cdot h}{1+\sqrt{1+4\cdot(\frac{h}{D})^2}}
\end{align}
Für das Volumen der ersten (obersten) $n$ Kugeln im Kelch gilt:
\begin{align}
V_{Ku,n} &= \frac{\pi\cdot d_{1}^3}{6}\cdot\left(1+(q^1)^3+(q^2)^3+\cdots +(q^{n-1})^3 \right)\newline
&= \sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{\pi\cdot d_{1}^3}{6}\cdot q^{3k}\newline
&= \frac{\pi\cdot d_{1}^3}{6}\cdot\frac{1-q^{3n}}{1-q^3}
\end{align}
und für das Volumen aller Kugeln zusammengenommen:
\begin{align}
V_{Ku} = \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{\pi\cdot d_{1}^3}{6}\cdot\frac{1-q^{3n}}{1-q^3} \right)
=\frac{\pi}{6}\cdot\frac{d_{1}^3}{1-q^3}
\end{align}
Mit $q$ nach Gleichung 3 und $d_{1}$ nach Gleichung 5
kann Gleichung 9 umgeformt werden
in den Ausdruck
\begin{align}
V_{Ku} = \frac{\pi}{6}\cdot\frac{h^3}{1+3\cdot(\frac{h}{D})^2} = \frac{\pi}{6}\cdot \frac{D^2\cdot h}{(\frac{D}{h})^2+3}
\end{align}
womit sich das Kugelvolumen in direkter Abhängigkeit von den Innenabmessungen $h$ und $D$
des Kelchs berechnen lässt. Berücksichtigt man das Füllvolumen von letzterem mit
\begin{align}
V_{Ke} = \frac{\pi}{12}\cdot D^2\cdot h
\end{align}
so ergibt sich für das Verhältnis $\lambda =V_{Ku}/V_{Ke}$, das
den Füllungsgrad des Kelchs definiert, die Formel:
\begin{align}
\lambda \frac{V_{Ku}}{V_{Ke}} = \frac{2\cdot(\frac{h}{D})^2}{1+3\cdot(\frac{h}{D})^2}
=\frac{2}{(\frac{D}{h})^2 +3}
\end{align}
Für die in Abbildung 1 vorgegebenen Kelchmaße,
$h=7cm$ und $D=5cm$, liefert Gleichung 12
den Füllungsgrad $\lambda=\mathbf{0,569767}$.
Die Kugeln nehmen also $56,9767\\%$ des Innenraums (Füllvolumens) ein.
Der Graph in Abbildung 2 zeigt, wie sich $\lambda$ in Abhängigkeit
vom Verhältnis $h/D$ ändert.
{{< figure src="OpaJupp-KugelnKelch1.png" caption="Abb.2">}}
So ist erkennbar, dass die Kugeln niemals mehr als $\frac{2}{3}$ des Innenraums einnehmen können.
{{< fragestellung aufgabe="Kugeln im Kelch" aufgabenlink="kugeln-im-kelch/" >}}